Математика

Тема: Відсотки 

На попередньому уроці ми розібрали відповіді до простих задач на відсотки, тут спробуємо викласти своє бачення, як потрібно обчислювати тестові завдання при проходженні ЗНО тестування.

Завдання 2.20 Тривалість робочого дня зменшилась з 8 год до 6 год. На скільки відсотків потрібно підвищити продуктивність праці, щоб випуск продукції залишився тим же?
Обчислення: Нехай x - кількість продукції, що випускають за один день,
x/8 - продуктивність повного робочого дня (приймаємо за 100%);
x/6 - продуктивність неповного робочого дня., тоді,
 - відсоткова різниця в продуктивності:

Оскільки випуск продукції повинен залишитися як для повного робочого дня, то на  потрібно підвищити продуктивність праці.
Відповідь:  – В.

Завдання 2.21 Машиніст провів поїзд за 7 год 30 хв замість 9 год за графіком. На скільки відсотків було збільшено середню швидкість.
Обчислення: 7 год 30 хв = 7,5 год.
Оскільки середня швидкість змінювалась пропорційно до затраченого часу, то знайдемо скільки відсотків становить число 9 від 7,5.
Запишемо коротку умову:
7,5 – 100%
9 – x. 
Звідси складемо пропорцію:

або 7,5:100%=9:x.
Розв'яжемо пропорцію (добуток крайніх членів = добутку середніх):
7,5•x=9•100% звідки

тому 120%-100%=20%.
На 20% було збільшено середню швидкість поїзда.
Відповідь: 20% – А.Завдання 2.22 У сплаві міді та цинку мідь становить 1/7 частину маси цинку. Який відсотковий уміст міді у сплаві? 

Обчислення: Нехай x - маса міді у сплаві,
y - маса цинку у сплаві, тоді x=y/7 (за умовою задачі),
а x+y - маса сплаву (приймаємо за 100%).
Якщо x=y/7, то y=7x, тоді
x+y=7x+x,
x+y=8x, звідси
 - вміст міді у сплаві.
Відповідь: 12,5% – Б.

Завдання 2.23 2 кг сплаву міді з оловом містить 40% міді. Скільки потрібно додати до цього сплаву олова, щоб отриманий сплав містив 16% міді.
Обчислення: 1) Знайдемо масу міді в початковому сплаві.
Запишемо коротку умову:
2 кг – 100%
х кг – 40 % .
Звідси складемо пропорцію:


або 2:100%=x:40%.
Розв'яжемо пропорцію (добуток крайніх членів = добутку середніх):
2•40%=x•100% звідки
, 
отже 0,8 кг – маса міді у сплаві.
Тоді 2-0,8=1,2 кг – маса олова у сплаві.

2) Знайдемо масу утвореного сплаву з додаванням олова у попередній сплав: Запишемо коротку умову:
y кг – 100%
0,8 кг – 16 % .
Звідси складемо пропорцію:

або y:100%=0,8:16%.
Розв'яжемо пропорцію (добуток крайніх членів = добутку середніх):
y•16%=0,8•100% звідки

отже 5 кг – маса утвореного сплаву.
Тоді 5-2=3 кг – маса олова у сплаві, якого потрібно додати, щоб отриманий сплав містив 16% міді.
Відповідь: 3кг – А.

Тема: Похідна функції. Основні поняття

Означення. Похідною функції у = f(х) називають границю відношення приросту функції до приросту аргументу, якщо приріст аргументу прямує до нуля:

у′ = .

Знаходження похідної називають диференціюванням функції.

Похідну функції позначають y′ або , або f′(x).

Властивості (правила знаходження) похідної:

1) (Cu)′ = Cu′ ;

2) (u+v-w)′ = u′+v′-w′ ;

3) (uv)′ = u′v+uv′ ;

4)

Таблиця похідних основних елементарних функцій :

1) (С)′ = 0 , (С = const);

2) (х)′ = 1;

3)

4) ;

5) ;

6) ;

7) ()′ = ;

8) ;

9) ;

10) ()′ = ;

11) ()′ = - ;

12) (tg x)′ = ;

13) (ctg x)′ = - ;

14) (arctg x)′ = ;

15) (arcctg x)′ = - ;

16) (arcsin x)′ = ;

17) (arccos x)′ = - .

Приклади:

Знайти похідні функцій:

1) у = 4х⁵ + - 8 -16;

у = 4х⁵ + - 8-16 = 4х⁵ + х^-6 - 8- 16;

у′ = 4х^5-1 + (-6х^-6-1) - 8= 20х⁴ – х^-7 - 6= 20х⁴ - - ;

2) у = (х³ – 2х – 11) ;

у ′ = (х³ – 2х – 11)′+ (х³ – 2х -11)= (3х² – 2)+

(х³ - 2х – 11)= (3х² -2) arctg x + ;

3) у = ;

у′ = = =

= = .

Завдання для роботи в аудиторії:

Знайти похідну функції:

1)

2) y = 2х^{3 _} 5х² + 7х - 12;

3) y = х - х² + х³ - х⁴;

4) y =2 - + 8;

5) y = 6 + 5 - 7 ;

6) y = tgx – ctgx ;